تشعب هوبف و صفري هوف لأنظمة لوتکا فولتیرا رباعیة الأبعاد
DOI:
https://doi.org/10.21123/bsj.2024.9456الكلمات المفتاحية:
الكلمات المفتاحية: نظرية المتوسطات، نظام لوتكا فولتيرا، حلول دورية، نظام تربيعي متعدد الحدود، تشعب صفري هوبفالملخص
في هذا العمل، تم النظر في نموذج لوتكا-فولتيرا رباعي الأبعاد (4DLV) الذي يتضمن أربعة أنواع في بيئة ثابتة. ويهدف هذا البحث الى دراسة التشعبات المحلية (local bifurcations) في النظام. يحتوي هذا النظام على ست عشرة نقطة من التوازن (equilibrium point) على الأكثر. تم أخذ إحدى نقاط التوازن في الاعتبار من أجل دراسة الحلول الدورية (periodic solutions) التي تتشعب من نقطتي توازن هوبف (Hopf) وصفر هوبف (zero-Hopf) على التوالي. توجد خمس عائلات ذات شروط كافية على معلمات النظام التي تحتوي فيها المصفوفة الجاكوبية عند نقطة التوازن على زوج من القيم الوهمية البحتة وقيمتين ذاتيتين (eigenvalues) غير موجبتين. إضافة الى ذلك توجد ثماني عائلات ذات شروط كافية على المعلمات التي تحتوي فيها المصفوفة الجاكوبية عند نقطة التوازن على زوج من القيم الذاتية الخيالية البحتة وعلى الأقل احدى من القيم الذاتية الأخرى تكون صفرا. بعد ذلك، يكشف هذا البحث أن بعض أنظمة Lotka-Volterra الفرعية رباعية الأبعاد تظهر حلاً دوريًا متشعبًا من نقطة توازن هوبف وثلاثة حلول دورية متشعبة من نقطة توازن هوبف صفرية بشكل استقبالي. تتكون طريقة حساب المتوسط بأي ترتيب لحساب الحلول الدورية من توفير الظروف الكافية لوجود الحلول الدورية في الأنظمة التفاضلية متعددة الحدود من خلال دراسة نقاط التوازن للأنظمة المتوسطة المرتبطة بها. ثم، والأداة الرئيسية المستخدمة هي نظرية المتوسط من الدرجة الأولى لحساب الحلول الدورية التي تتشعب من نقاط هوبف وصفر هوبف المفردة في4DLVS . وفي النهاية تدعم النتائج النظرية التي تم الحصول عليها والتحقق منها من خلال الأمثلة العددية.
Received 14/09/2023
Revised 01/03/2024
Accepted 03/03/2024
Published Online First 20/08/2024
المراجع
Hofbauer J, Sigmund K. Evolution Games and Population Dynamics. Cambridge University Press; 1998; 323 p. https://doi.org/10.1017/CBO9781139173179.
Kowgier H. On Four-Dimensional Lotka-Volterra Models. Pol J Environ Stud. 2009 Sep; 18(3B): 175-180.
Guckenheimer J, Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York: Springer-Verlag; 1983. XVI, 462 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-1140-2.
Holmes PJ, Marsden JE. Bifurcations to Divergence and Flutter in Flow-Induced Oscillations: An Infinite Dimensional Analysis. Automatica. 1978. 14: 367-384. https://doi.org/10.1016/0005-1098(78)90036-5
Kunzostov YA. Elements of Applied Bifurcation Theory. 2nd Edition. New York: Springer-Verlag; 2000. 614 p.
Dercole F, Maggi S. Detection and continuation of a border collision bifurcation in a forest fire model. Appl Math Comput. 2005; 168(1): 623–635. https://doi.org/10.1016/j.amc.2004.09.008
Naji RK. On The Dynamical Behavior of a Prey-Predator Model with The Effect of Periodic Forcing. Baghdad Sci J. 2007 Jan; 4(1): 147-157.
Majeed SN, Naji RK. An Analysis of a Partial Temporary Immunity SIR Epidemic Model with Nonlinear Treatment Rate. Baghdad Sci J. 2019 Sep; 16(3): 639-647. http://dx.doi.org/10.21123/bsj.2019.16.3.0639.
Llibre J, Xiao D. Limit cycles bifurcating from a-non-isolated zero-Hopf equilibrium of 3-dimensional
differential systems. Proc Am Math Soc. 2014; 142(6): 2047–2062. 10.1090/S0002-9939-2014-11923-X.
Han M, Llibre J, Tian Y. On the Zero-Hopf Bifurcation of the Lotka-Volterra Systems in R3. Mathematics. 2020 Jun; 8(7): 1-14. https://doi.org/10.3390/math8071137.
Zhou L, Zhao Z, Chen F. Stability and Hopf bifurcation analysis of a new four-dimensional hyper-chaotic system. Mod Phys Lett B. 2020 Jul; 34(29): 2050327. https://doi.org/10.1142/S0217984920503273
Farhan AG, Balasim AT, Al-Nassir S. On the Stability of Four Dimensional Lotka-Volterra Prey-Predator System. Iraqi J Sci. 2023 Aug; 64(8): 5009-5030. https://doi.org/10.24996/ijs.2023.64.8.33
Wang R, Xiao D. Bifurcations and chaotic dynamics in a 4-dimensional competitive Lotka-Volterra system. Nonlinear Dyn. 2010 Feb; 59(3): 411-422. https://doi.org/10.1007/s11071-009-9547-3.
Menaceur A, Boulaaras S. A number of limit cycle of sextic polynomial differential systems via the averaging theory. Bol Soc Parana Mat. 2021; 39(4): 181-197. https://doi.org/10.5269/bspm.41922.
Diz-Pita E, Llibre J, Otero-Espinar MV, Valls C. The zero-Hopf bifurcations in the Kolmogorov systems of degree in R3. Commun Nonlinear Sci Numer Simul. 2021 Apr; 95: 105621. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2020.105621.
Djedid D, Bendib EO, Makhlouf A. Four-dimensional Zero-Hopf Bifurcation of Quadratic Polynomial Differential System, via Averaging Theory of Third Order. J Dyn Control Syst. 2021 Jun; 28: 901-916. https://doi.org/10.1007/s10883-020-09528-9.
Feddaoui A, Llibre J, Makhlouf A. 4-dimensional zero-Hopf bifurcation for polynomial differentials systems with cubic homogeneous nonlinearities via averaging theory. Int J Dyn Syst Differ Equ. 2020 Aug; 10(4): 321-328. https://doi.org/10.1504/IJDSDE.2020.109106.
Llibre J, Tian Y. The zero-Hopf bifurcations of a four-dimensional hyperchaotic system. J Math Phys. 2021 May; 62(5): 052703. https://doi.org/10.1063/5.0023155.
Sheng L, Wang S, Li X, Han M. Bifurcation of periodic orbits of periodic equations with multiple parameters by averaging method. J Math Anal Appl. 2020 Oct; 490(2): 124311. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2020.124311.
Verhulst F. Nonlinear differential equations and dynamical. 2nd edition. Springer Berlin, Heidelberg; 1996. X, 306 p. https://doi.org/10.1007/978-3-642-61453-8.
التنزيلات
إصدار
القسم
الرخصة
الحقوق الفكرية (c) 2024 Sirwan A. Mustafa, Niazy H. Hussen
هذا العمل مرخص بموجب Creative Commons Attribution 4.0 International License.